ফিবোনাচ্চি

সারাবিশ্বের গণিতের ইতিহাস পর্যালোচনা করতে বসলে যেসব মহান গণিতবিদের অবদানকে উপেক্ষা করা যাবে না, অবশ্যই সেই তালিকায় উপরের দিকে স্থান পাবেন ইতালীয় গণিতবিদ ফিবোনাচ্চি (Fibonacci)। যদিও লিওনার্দো পিসানো (Leonardo Pisano) তাঁর আসল নাম হলেও এই ফিবোনাচ্চি নামেই সারা বিশ্বে তিনি পরিচিত। মূলত ইউরোপে হিন্দু-আরবি স্থান-মূল্যের দশমিক পদ্ধতি এবং আরবি সংখ্যার ব্যবহার প্রথম তিনিই চালু করেছিলেন ব্যপকভাবে৷ তবে সবচেয়ে বেশি তাঁর নাম মনে রাখা হয় ফিবোনাচ্চি সংখ্যা এবং ফিবোনাচ্চি ক্রমের কারণে। এছাড়াও নিঁখুত সংখ্যা জড়িত সমস্যা, পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক সিরিজ সংক্রান্ত সমস্যা, সংখ্যাতত্ত্ব ইত্যাদি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করে বেশ গুরুত্বপূর্ণ কিছু গ্রন্থ রচনা করেছিলেন তিনি। তাঁর সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য গ্রন্থটি হল, লিবার অ্যাবাসি (Liber abaci)।

দ্বাদশ শতাব্দীর শেষদিকে ১১৭০ সালে ইতালীর পিসা শহরে লিওনার্দো পিসানো ওরফে ফিবোনাচ্চির জন্ম হয়। তাঁর বাবা গুগলিয়েলমো ছিলেন একজন বণিক এবং শুল্ক কর্মকর্তা। গুগলিয়েলমোর ডাকনাম ছিল বোনাচ্চিও। বাবার নামের কারণেই লিওনার্দোর নাম দেওয়া হয়েছিল ফিবোনাচ্চি। ১৮৩৮ সালে ফ্রাঙ্কো-ইতালীয় ইতিহাসবিদ গুইলাম লিব্রি এই নাম তৈরি করেছিলেন। আসলে ফিলিয়াস বোনাচ্চিও (বোনাচ্চিওর ছেলে), এই কথাটির সংক্ষিপ্ত রূপই হল ফিবোনাচ্চি। অবশ্য এরও আগে ১৫০৬ সালে পবিত্র রোমান সাম্রাজ্যের পেরিজোলো নামের একজন নোটারি, লিওনার্দোকে ‘লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি’ বলে উল্লেখ করেছিলেন। ফিবোনাচ্চির মা ছিলেন আলেসান্দ্রা। মায়ের মৃত্যুর সময় তাঁর বয়স ছিল মাত্র নয় বছর। 

ফিবোনাচ্চির বাবা গুগলিয়েলমো উত্তর আফ্রিকার হাম্মাদিদ সাম্রাজ্যের রাজধানী আধুনিক আলজেরিয়ার বুগিয়াতে একটি ট্রেডিং পোস্ট পরিচালনা করেছিলেন। গুগলিয়েলমোর কাজ ছিল পিসা প্রজাতন্ত্রের বণিকদের প্রতিনিধিত্ব করা যারা বুগিয়াতে ব্যবসা করত। পরে সেই বণিকেরা বোগি নামে পরিচিত হয়েছিল৷ বাবার কাজের কারণে ছোটবেলাতেই ফিবোনাচ্চি বাবার সঙ্গে বুগিয়া শহরে গিয়েছিলেন এবং সেখানেই প্রাথমিক শিক্ষাগ্রহণ করেছিলেন তিনি। এখানে উল্লেখ্য যে, সেই বুগিয়া শহরেই হিন্দু-আরবি সংখ্যা পদ্ধতি নিবিড়ভাবে শেখবার সুযোগ হয়েছিল তাঁর।

ভূমধ্যসাগরীয় উপকূলের চারপাশে ভ্রমণ করতেন ফিবোনাচ্চি এবং অনেক বণিকের সঙ্গেও দেখা করেছিলেন। তিনি মাঝেমাঝে বিগোলো নামটি ব্যবহার করতেন, যার অর্থ হয়তো অকর্মণ্য বা ভ্রামণিক। এছাড়াও বাবার সঙ্গে ব্যপকভাবে ভ্রমণ করেছিলেন তিনি। তাঁকে মিশর, সিরিয়া, গ্রীস, সিসিলি ইত্যাদি বিভিন্ন জায়গায় ব্যবসায়িক সফরে পাঠানো হয়েছিল। যেসমস্ত দেশে গিয়েছিলেন, সেখানকার গাণিতিক পদ্ধতি এবং তাদের সুবিধাগুলিকে বুঝতে পেরেছিলেন তিনি। বিখ্যাত লিবার অ্যাবাসি গ্রন্থে তিনি লিখেছিলেন যে, বুগিয়াতে থাকাকালীনই তিনি ভারতীয়দের নয়টি প্রতীকের সম্বন্ধে জেনেছিলেন।

১২০০ সালের দিকে ফিবোনাচ্চি তাঁর ভ্রমণ সমাপ্ত করে ফিরে আসেন পিসায়৷ পিসায় ফিরে এসে বেশকিছু গাণিতিক গ্রন্থ তিনি রচনা করেছিলেন যেগুলি প্রাচীন গাণিতিক দক্ষতা পুনরুজ্জীবিত করার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল। মনে রাখতে হবে ফিবোনাচ্চির সময়ে ছাপাখানার উদ্ভব হয়নি, ফলে তাঁর সমস্ত গ্রন্থই ছিল হাতে লেখা।

আমাদের কাছে ফিবোনাচ্চির যে-বইগুলির কপি রয়েছে, সেগুলি হল, ‘লিবার অ্যাবাসি’ (১২০২), ‘প্র্যাকটিকা জিওমেট্রিয়া’ (১২২০), ‘ফ্লস’ (১২২৫) এবং ‘লিবার কোয়াড্রাটোরাম’। কিন্তু এগুলি ছাড়াও আরও কিছু গ্রন্থ ফিবোনাচ্চি রচনা করেছিলেন যেগুলি দুর্ভাগ্যবশত হারিয়ে গিয়েছিল। সেই হারিয়ে যাওয়া গ্রন্থগুলির মধ্যে একটি হল বাণিজ্যিক পাটিগণিতের ওপর তাঁর বই, ‘ডি মাইনর গুইসা’। এছাডাও ইউক্লিডের ‘এলিমেন্টস’ বইয়ের ভাষ্য রচনা করেছিলেন তিনি।

জর্ডানাস নামক এক বিখ্যাত গণিতবিদের সমসাময়িক হলেও ফিবোনাচ্চি অনেক বেশি প্রতিভাবান এবং পরিশীলিত গণিতজ্ঞ ছিলেন। বিমূর্ত উপপাদ্যের পরিবর্তে তার ব্যবহারিক প্রয়োগের দিকটিকে স্পষ্টভাবে তুলে ধরবার জন্যই তিনি তাঁর সমসাময়িকদের মধ্যে বিখ্যাত হয়েছিলেন। দীর্ঘ ভ্রমণের ফলে যেসব জ্ঞানার্জন করেছিলেন তিনি সেগুলির ওপর ভিত্তি করেই ১২০২ সালে লিবার অ্যাবাসি গ্রন্থটি রচনা করেছিলেন। এই বইয়ের নামের অর্থ হল ‘বুক অব অ্যাবাকাস’ বা গণনার বই। এই গ্রন্থের মাধ্যমে তিনি ইউরোপকে হিন্দু-আরবি সংখ্যা পদ্ধতির সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দিয়েছিলেন। এই গ্রন্থের সাহায্যেই ল্যাটিন-ভাষী বিশ্বকে দশমিক পদ্ধতির পাঠ দেন ফিবোনাচ্চি। সেই সময় ইতালি ছোট ছোট স্বাধীন শহর ও অঞ্চল নিয়ে গঠিত ছিল, ফলে অনেক ধরনের ওজন এবং টাকাকড়ি লেনদের ব্যবস্থা প্রচলিত ছিল। ফিবোনাচ্চি এইসব বণিকদের জন্য লিবার অ্যাবাসি রচনা করেছিলেন। তারমধ্যে ব্যবহারিক সমস্যার নানা প্রসঙ্গ তুলে ধরে, কাজের উদাহরণ দিয়ে তিনি দেখানোর চেষ্টা করেছিলেন যে জটিল রোমান সংখ্যার তুলনায় এই গ্রন্থে উল্লিখিত সংখ্যা পদ্ধতির সাহায্যে কত সহজে বাণিজ্যিক এবং গাণিতিক গণনা করা যেতে পারে। দশমিক সংখ্যার বিস্তারের সূচনা হিসাবে ফিবোনাচ্চির এই বইটি ছিল তার সবচেয়ে বড় গাণিতিক কৃতিত্ব।

এই গ্রন্থের ভিতরেই ফিবোনাচ্চি ক্রমের উল্লেখ রয়েছে। এই বইতে ফিবোনাচ্চি যে গাণিতিক সমস্যা নিয়ে গবেষণা করেছিলেন তার মধ্যে একটি ছিল আদর্শ পরিস্থিতিতে খরগোশ কত দ্রুত বংশবৃদ্ধি করতে পারে। এই ফিবোনাচ্চি ক্রম অনুসারে প্রতিটি সংখ্যা পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার সমষ্টি। এই ক্রমটি ভারতীয় গণিতবিদরা ষষ্ঠ শতাব্দীর প্রথম দিকে বর্ণনা করেছিলেন। এই ফিবোনাচ্চি সিরিজ বা অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা F n হিসেবে উপস্থাপিত হয়। এই ক্রমের প্রথম সংখ্যাটি হয় শূণ্য এবং দ্বিতীয়টি ১। এই ক্রমে সংখ্যাগুলি যেভাবে বেড়ে যায় পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফল অনুযায়ী, সেই হিসেবে বর্গক্ষেত্রের একটি প্যাটার্ন তৈরি করে তাতে রেখাঙ্কন করলে একটি সর্পিল আকার পাওয়া যায়, যা ‘গোল্ডেন স্পাইরাল’ নামেও পরিচিত। এই ফিবোনাচ্চি ক্রমের সর্পিল প্যাটার্ন প্রাকৃতিক বিভিন্ন জিনিসে, যেমন, সূর্যমুখীর মাঝখানের বীজ, শামুখের খোলস, শঙ্খ ইত্যাদিতেও দেখতে পাওয়া যায়। ১.৬১৮-এর যে গোল্ডেন রেশিও, যা-কিনা গণিতবিদ, বিজ্ঞানী এবং প্রকৃতিবিদদের কাছে শতাব্দীর পর শতাব্দী ধরে গুরুত্বপূর্ণ হয়ে রয়েছে, সেই সোনালি অনুপাত ফিবোনাচ্চি ক্রম থেকেই উদ্ভুত হয়েছিল। ক্রমানুসারে ফিবোনাচ্চি সংখ্যার প্রতিটি জোড়ার ভাগফল আনুমানিক ১.৬১৮ বা ০.৬১৮। এই লিবার অ্যাবাসি বইটি যেমন ব্যবসায়িক গণনাকে সহজ এবং দ্রুততর করেছিল, তেমনি ইউরোপে ব্যঙ্কিং ও অ্যাকাউন্টিংয়ের বৃদ্ধিতেও এর গুরুত্বপূর্ণ অবদান রয়েছে। এই গ্রন্থে অমূলদ সংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যা নিয়েও আলোচনা রয়েছে।

রোমান সম্রাট দ্বিতীয় ফ্রেডরিক তাঁর দরবারের পন্ডিতদের মারফত ফিবোনাচ্চির কাজ সম্পর্কে জানতে পারেন। ১২০০ সালে ফিবোনাচ্চি পিসায় ফিরে আসার পর সেই পন্ডিতেরা তাঁর সঙ্গে যোগাযোগ করেছিলেন। সেই পন্ডিতদলের মধ্যে ছিলেন, দরবারের জ্যোতিষী মাইকেল স্কটাস, দার্শনিক থিওডোরাস ফিজিকাস এবং ডমিনিকাস হিস্পানাস। ১২২৫ সালের দিকে ফ্রেডরিকের কোর্ট যখন পিসায় মিলিত হয়েছিল তখন ওই ডমিনিকাস হিস্পানাস ফিবোনাচ্চির সঙ্গে সাক্ষাৎ-এর জন্য ফ্রেডরিককে পরামর্শ দিয়েছিলেন। সেই ফ্রেডরিকের কোর্টের আরেক সদস্য মহান গণিতবিদ পালেরমোর জোহানেস ফিবোনাচ্চিকে চ্যালেঞ্জ হিসেবে কয়েকটি সমস্যা সমাধানের জন্য দিয়েছিলেন। এগুলির মধ্যে তিনটি সমস্যার সমাধান করেন ফিবোনাচ্চি এবং সেইসব সমাধান ‘ফ্লস’ গ্রন্থে লিপিবদ্ধ করে তা দ্বিতীয় ফ্রেডরিককে পাঠিয়ে দেন তিনি। এখানে উল্লেখ্য যে, পালেরমোর জোহানস যেসব সমস্যা ফিবোনাচ্চিকে দিয়েছিলেন সমাধানের জন্য, তার সবকটি জোহানসের নিজের তৈরি করা নয়৷ সেগুলির মধ্যে একটি সমস্যা তিনি ওমর খৈয়ামের বীজগণিতের বই থেকে গ্রহণ করেছিলেন, যেখানে সমস্যাটিকে একটি বৃত্ত এবং একটি হাইপারবোলার সংযোগের মাধ্যমে সমাধান করা হয়েছিল। যদিও ফিবোনাচ্চি প্রমাণ করেন যে, সমীকরণের মূলটি পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ নয়, ভগ্নাংশের বর্গমূলও নয়।

১২২০ সালে রচিত ‘প্র্যাকটিকা জিওমেট্রিয়া’ গ্রন্থটি ফিবোনাচ্চি উৎসর্গ করেছিলেন দার্শনিক ডোমিনিকাস হিস্পানাসকে। এই বইতে ইউক্লিডের ‘এলিমেন্টস’ এবং ‘অন ডিভিশনস’-এর ওপর ভিত্তি করে উপপাদ্য-সহ আটটি অধ্যায়ে সাজানো জ্যামিতিক সমস্যার একটি বড় সংগ্রহ রয়েছে। সুনির্দিষ্ট প্রমাণসহ জ্যামিতিক উপপাদ্য ছাড়াও বইটিতে সমীক্ষকদের জন্য বিভিন্ন ব্যবহারিক তথ্য অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যেমন অনুরূপ ত্রিভুজ ব্যবহার করে লম্বা বস্তুর উচ্চতা কীভাবে গণনা করা যায়, তার উপরে একটি অধ্যায় রয়েছে। ফিবোনাচ্চি যাকে বলেন জ্যামিতিক সূক্ষ্মতা, শেষ অধ্যায়টিতে রয়েছে সেটাই। তারমধ্যে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে পেন্টাগন এবং ডেকাগনের বাহুর পরিধি ইত্যাদি গাণিতিক বিষয়গুলি।

ফিবোনাচ্চির আরেকটি আকর্ষণীয় কাজ হল ১২২৫ সালে লেখা ‘লিবার কোয়াড্রাটোরাম’। এই গ্রন্থটির নামের অর্থ হল বর্গক্ষেত্রের বই এবং মূলত এটি একটি সংখ্যাতত্ত্বের বই। পাইথগোরিয়ান ট্রিপলগুলি খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলি পরীক্ষা করা হয় এই বইতে। এই গ্রন্থে ফিবোনাচ্চি প্রথম উল্লেখ করেন যে, বর্গ সংখ্যাগুলিকে বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসেবে তৈরি করা যেতে পারে। তিনি আবিষ্কার করেন যে সমস্ত বর্গ সংখ্যা বিজোড় সংখ্যার আরোহ থেকে উদ্ভুত হয়েছে। এছাড়াও অনেক আকর্ষণীয় সংখ্যাতত্ত্বের ফলাফলও প্রমাণ করেন তিনি। একটি বর্গক্ষেত্র যে একটি সমষ্টি হতে পারে না, তাও প্রমাণ করে দেখান ফিবোনাচ্চি।
তবে সংখ্যাতত্ত্বের ওপর ফিবোনাচ্চির এই কাজ মধ্যযুগে প্রায় সম্পূর্ণ উপেক্ষিত এবং কার্যত অজানা ছিল বলা যায়।

অ্যাকাউন্টিং এবং নানারকম প্রয়োজনীয় ও উপকারী নির্দেশ প্রদানের মাধ্যমে শহরবাসীকে পরিষেবা প্রদানের জন্য ১২৪০ সালে পিসা প্রজাতন্ত্র ফিবোনাচ্চিকে একটি ডিক্রিতে বেতন প্রদান করে সম্মান জানিয়েছিল। ১২৪০ থেকে ১২৫০-এর মধ্যে ইতালির পিসা শহরেই ফিবোনাচ্চির মৃত্যু হয়েছিল বলে মনে করা হয়। পরবর্তীকালে উনিশ শতকে পিসায় ফিবোনাচ্চির একটি মূর্তি স্থাপন করা হয়েছিল। এছাড়াও তাঁর নামে একটি গ্রহাণুর নামকরণ করা হয়েছিল ৬৭৬৫ ফিবোনাচ্চি। ২৩ নভেম্বরকে ফিবোনাচ্চি দিবস হিসেবে পালন করা হয়, কারন এই তারিখটিকে যেভাবে লেখা হয়, অর্থাৎ, ১১/২৩, এটি ফিবোনাচ্চি ক্রমের অন্তর্ভুক্ত। বিশ্বের তামাম গণিতবিদ লিওনার্দো পিসানো ফিবোনাচ্চির নাম আজও শ্রদ্ধার সঙ্গে স্মরণ করে থাকেন।